はじめての集合と位相 ：第五章 集合演算 の拡張と 実数
方針
自力で考え方を編み出すのはできるかもしれないが時間がかかるので、できるだけ素早く答えはみる
ただし、その時はどうしてその答えに行き着いたのかについて考察すること
問題のどこに着目して
なぜそこに着目したのか、そのきっかけを言語化すること
ここのメモ書きは雑に書く。
AC.icon 問5.5
この問題には長く詰まっていたので、しっかり書く。
数に2通りの無限小数表現があったら、その数は有限小数である
目標を調べる
$ x = a_0.a_1 \cdots a_nのような形で表したい
要するに、途中で打ち切った形で表したい。
手元にある無限小数表現$ aを打ち切りたい
大小関係を使って、途中で打ち切ることが考えられる
$ a = 0.49999\cdotsと$ b = 0.500000\cdotsを見比べてみる
最初に変わる桁では$ 1しか変化しない
$ a, bをどうにかして関連づけて論じたい
無限小数を途中で打ち切れば$ a \leq bと言えるので、これを使おう
ある桁で差がついていたら、それ以降の桁をどういじろうとも変わりようがない
極限だから$ a = bと同一視できる
$ x = a \leq a_0.a_1\cdots (a_n+1)\leq b_0.b_1\cdots b_n = x
で挟んで、有限小数と$ xを結べば目的を達成できる
AC.icon問5.6
与えられた値$ xの無限小数部分を引き算で打ち消してやる
ちょうどよく消えるように$ 10^-k 倍してやろう
WJ.icon問5.7
頑張って割り算する
原理
それぞれの桁は$ 0, \cdots, 9のいずれかで
$ d桁目の後の桁は$ d桁目の値だけで決まる
スキップ
要するに
順序体の定義
$ -P \cup \{0\} \cup Pが$ Fの分割
$ Pが$ 0を含むと、$ -Pにも$ 0が含まれる
$ x + y, xy \in Pの条件は、$ x, yどちらも正数であることを意味する。
定義5.10 収束する単調増加数列
導入がうまくてスキappbird.icon
$ y以上$ x以下の領域に到達する$ x_nが存在するかを問うている
$ yは$ xに限りなく近いときもある
もし単調増加性がなかったら？
途中で数列$ x_nが$ xにへばりつけば、あとは$ xに近づかなくてもOKになる
--> このケースは潰したいので、単調増加性をつける。
ε-δ論法において、$ \exists N\in \N; \forall n > N;と二段構えになっている理由 https://scrapbox.io/files/6637af5ec2d9ce0026f84bb4.jpeg
$ y < x_nにおいて$ <が$ \leqじゃない理由は？
$ \forall y < xが$ \leqじゃないのはわかる
$ xに異なる値を取りながら限りなく近づく例を取り入れられなくなってしまう
数列の極限の定義には２つの不等号がでてくる。それぞれ$ ≤か$ <のどちらかだ。ところが、どの組み合わせをとっても数列の極限の定義としては同値になる。それを示す問題。
ほう、そうなんか
「本質的に」一つしか存在しない、ってどういうことなんだろう
複数構成したとして、要素として体の構造を保存する全単射が作れるのかな
どんな$ y < xに対しても$ y < x_n < xなる$ x_nを取れるっていうのが重要なのか？
$ \mathbb{Q}でも同じように成り立つ気はするけど（有理数の稠密性） 上に上界な「任意の」単調増加数列で収束するんか？ってって言われるとウッってなる おぉ〜（感動ポイント） すご
実数$ xを取るとそれより大きい自然数が存在する。
https://scrapbox.io/files/6637b7cc1b69fe002457a788.jpeg
- 01:31 > 解けそうなので1:41まで拡張
連続性の公理から導かれるらしい、そうなんすか？appbird.icon
長さ$ 1の区間に分割して、数学的帰納法を走らせてもなんかいけそうな予感。 目的
ある実数$ aに対して、$ a < nを満たす自然数$ nが存在しないと仮定するとどうなるか？
つまり、全ての自然数$ nに対して$ n \leq aってことだよな
ん！？これって上界が存在することになるな...
明らかにおかしいが、これがおかしいと直接示しにかかるのは、最初の命題と同じ問題になる。
連続性の公理を使うとなると、$ a_n = nは有界だな（矛盾した発言）
$ n = xであるとは限らない
つまり、$ xにどれだけ近い値$ yをとっても、どこかの$ x_nは$ y以上$ x以下の範囲で増え続ける
だけど、$ x_nは$ nが$ 1増えると$ +1されるので...
$ yと$ xの区間が$ 1以下のものを取ってやれば、条件$ 1が崩れる。
公理ってついてるあたりから、昔はこれが公理だと信じられてたんだろうなあ しみじみ 「無理数のところにすき間がある！」テンション高くて好きappbird.icon
どんなに大きい$ xでもそれより大きい自然数が取れることはかなり重要
言い換えると、どんなに小さい$ εでもそれより小さい$ 1/nが取れることになる。
ε-N論法に則って、$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = +0だということが示せる！ 自然数であるという条件がこの定理の成立に欠かせないっぽいな 初項$ 1 \in \Nが作れるのは、自然数に最小元があるからこそできる
任意の$ x \in \Rに対して、整数$ aが存在して $ a - 1 \leq x < a
アルキメデスの公理を満たす自然数の最小値$ nを取ると、$ aっぽい値が取れることに注意 負の数の場合はその結果を再利用する
とか言っておいて負の数の時忘れてたてへ
アルキメデスの公理が動くのは数列の初項があるからだな $ x < yならば、$ x < r < yなる有理数が存在する。 有理数は自然数を割ることで作れるので、床関数の命題をそのまま使いたい
$ x < yの中に$ rを入れ込むにはどうすればいいかを考える。
床関数が「整数」単位で下界を作れることを考えると、
https://scrapbox.io/files/663e410fcc8ec1001d2b1387.jpeg
$ y - xの幅の中に入るように出来るだけ小さく等分割する。 このような分割は命題5.13から得られる。分母はこれで決める。
$ a - 1\leq 1/(y-x) < a
あとは、$ xを超えるように分子$ bを取る。
$ b-1\leq ax < b
$ b-1/a \leq x < b/a
あとは$ y > b/aであることを示ればいい。
$ y - \frac{b}{a} > 1/a + x - b/a > (ax - b - 1)/a \geq 0
これ、うまく使えば実数を任意の精度で有理数で近似できることに繋げられるかも...？ 仮に$ y を近似の対象とすれば、
$ y-1 < r_1 < yなる$ r_1\in \mathbb{Q}が取れる。
$ r_1 < r_2 < yなる$ r_2\in \mathbb{Q}が取れる。
$ r_2 < r_3 < yなる$ r_3\in \mathbb{Q}が取れる。
$ \vdots
このとき、$ \lim_{n \to \infty} y - r_n = 0か？
（必ずしもそうではないが、そうなる数列もある）
もう少し条件を付け加えたら、$ yに収束する数列$ r_nが作れそう